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1.唐山市第一中学自主招生综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学校名称准考证号备注：请将选择题、填空题、回答题的答案填在答题纸的相应位置上。一、选择题（本题共6题，每题5分，共30分，每题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的。）1.实数和在数轴上的位置如下图所示，则化简-的结果为（★★★）0A。BCD2、打开一台洗衣机（洗衣机里没有水）。洗衣服的时候，洗衣机要经过进水、洗涤、排水、脱水四个连续的过程。 其中，洗衣机的用水量（升）与进水、洗涤、排水的时间（分钟）满足一定的函数关系，其函数图大致为（★★★）ABCD3.对于福州市

2、对自行车协会某项野外训练中学生的年龄进行了统计，结果如下： 年龄(岁) 人数(人) 那么这些学生年龄的众数与中位数分别是（★★★） A. ， B. ， C. ， D. ， 4、下图是一个立方体的纸盒，切掉一角，切面与边的交点就是边的中点，现在把纸盒剪成平面，则展开后的图不能够(★★★)ABCD 5、如下图所示，在矩形纸中，，，将其折叠起来，使 点与 点重合，得到的折痕的值为(★★★)ABCD 问题5 图 问题6 图6、如上图所示，在平面直角坐标系中，有一个正方形，边长为，边和分别在轴和轴上。 如果以对角线为边，做出第二个正方形，再以对角线为边，做出第三个正方形。

3.正方形，依此类推，则点的坐标为（★★★）ABCD 二、填空（本部分共6题，每题5分，共30分） 7.定义正实数。若 ，则★★★。 8.已知一个球袋中装有不同颜色的球，其中有白球和黑球。若将白球和黑球放入球袋，从球袋中随机取出一只白球的概率为，则和的函数关系为★★★。 9.如图，在平面直角坐标系中，点和在函数图像上，⊙与轴相切，⊙与轴相切。设点的坐标为，⊙的半径为⊙半径的倍数，则点的坐标为★★★。 10.若不等式组约有4个整数解，则实数范围为★★★。11.如图1所示，摆放一对三角形，使两个三角形

4.直角边与唐山市唐山市第一中学自主招生综合素质考试数学试卷第7页共7页重合。已知把三角形绕点逆时针旋转后（如图2所示），两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为★★★。图1图212.A、B、C、D、E和小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人打一局。至此已知A打了一场，B打了一场，C打了一场，D打了一场，E打了一场。于是小强打了★★★场。第三部分。 答题（本题共3个分题，满分40分） 13.（本题满分13分）如图所示，分别过圆直径的两个端点作切线，在圆上取一点，过该两点的直线与这两条切线相交于。（1）证明：∽；（2）设圆的半径为，且，求圆的长度。 14.（本题满分13分）如图1所示，在平面直角坐标系中，直线与

5、抛物线交于两点， ， ， 。点在轴上，点的横坐标为 。 （1）求抛物线的解析表达式； （2） 点是抛物线上位于直线上方（与点 不重合）的动点。过点到轴的垂直线，以 为底，与直线交于点，在点作垂直线。设 的周长为 ，点的横坐标为 。求 的函数关系，求 的最大值。 图1 替代图15.（本题满分14分）唐山市唐山第一中学自主招生综合素质测试数学试卷第7页共7页古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用海边的鹅卵石排列成各种形状凤台一中自主招生试题，研究各种多边形数。 例如： ... 图1 ... 图2 研究了图1中的数，……，由于这些数都可以用三角形来表示，所以叫做三角数；同样，图2中的数叫做平方数（四边形数）。 （1）请写出一个既是三角数又是

6、大于平方数的最小正整数是 ；（2）试证明当 为正整数时，它必定是平方数；（3）设第边的数为，例如 。（i）试写出 的表达式；（ii）通过进一步研究发现 ，……，请猜测 的表达式，并计算 的值。唐山市唐山第一中学自主招生综合素质测试数学试卷第7页，共7页福州市第一中学2015年高中招生（城区外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本部分共6题，每题5分，共30分）题号123456 答案DAABDA二、 填空题（本部分共 6 题，每题 5 分，共 30 分） 7. 8. 注：不写范围不扣分 9. 10. 11. 12. 三、解答题（本部分共 3 题，满分 40 分） 13. （1）证明 1：由于是圆

7、切线，∴，∵，∴，————①……………………3分 ∵为圆的直径，∴，即 ∵，∴，∵，∴凤台一中自主招生试题，∴，————②…………………6分 由①②可知。 …………………7分 证明2：∵，∴，∴，∵，及∴，————③ 由①③可知。 证明3：由②③可知。 （注：其他证明均给出相应点） 解：（2）由（1）可知 ∴，……………………………10 分 令 ，则 ∵，∴，即 ……………………………12 分解得 ，即 …………………………………13 分 14.解：（1）对 ，当 ；当 。∴点的坐标为，点的坐标为，……………………………………2 分 由过两点的抛物线可得 ，解为。∴. ………………………

8. …………4 分 (2) 让直线